równanie Schrödingera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Zobacz też: Portal: Fizyka

Równanie Schrödingera jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, które opisuje zmianę w przestrzeni (w ogólnym przypadku w przestrzeni konfiguracyjnej ) oraz w czasie stanu czystego danego funkcją falową w układach kwantowych Hamiltona .

Odgrywa taką samą ważną rolę w mechanice kwantowej, jak równania Hamiltona lub równanie drugiego prawa Newtona w mechanice klasycznej lub równania Maxwella dla fal elektromagnetycznych.

Sformułowana przez Erwina Schrödingera w 1925 , opublikowana w 1926 . Równanie Schrödingera nie jest wyprowadzone, ale postulowane metodą analogii z optyką klasyczną, opartą na uogólnieniu danych eksperymentalnych[1] .

Równanie Schrödingera jest przeznaczone dla cząstek bezobrotowych poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi niż prędkość światła . W przypadku szybkich cząstek i cząstek o spinie stosuje się ich uogólnienia ( równanie Kleina - Gordona, równanie Pauliego, równanie Diraca itp.).

Historia

Na początku XX wieku naukowcy doszli do wniosku, że istnieje szereg rozbieżności między przewidywaniami teorii klasycznej a danymi eksperymentalnymi dotyczącymi budowy atomu. Odkrycie równania Schrödingera wynikało z rewolucyjnego założenia de Broglie, że nie tylko światło, ale ogólnie wszelkie ciała (w tym mikrocząstki ) mają właściwości falowe .

Historycznie ostateczne sformułowanie równania Schrödingera poprzedzał długi okres rozwoju fizyki . Samo równanie zostało sformułowane przez Erwina Schrödingera w 1925 roku , wyjaśniając, na prośbę Petera Debye'a , poglądy de Broglie dotyczące falowej natury mikrocząstek grupie doktorantów Uniwersytetu w Zurychu [2] . Wydana w 1926 [3] .

Za odkrycie tego równania E. Schrödinger otrzymał w 1933 roku Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki [4] .

Równanie zależne od czasu

Najbardziej ogólną postacią równania Schrödingera jest postać zawierająca zależność od czasu [5][6] :

Równanie zależne od czasu (przypadek ogólny)

gdzie Czy Hamiltonian , - współrzędne, - impulsy.

Przykład nierelatywistycznego równania Schrödingera w reprezentacji współrzędnych dla cząstki o masie punktowej poruszanie się w polu potencjału z potencjałem :

Przykład zależnego od czasu równania Schrödingera

W tym przykładzie hamiltonian ...

Niektóre właściwości

Funkcja falowa będąca rozwiązaniem równania Schrödingera i jej pierwsze pochodne muszą być jednowartościowe i ciągłe w przestrzeni. Ciągłość pochodnych fizycznie oznacza ciągłość gęstości strumienia [7] .

Jeśli energia potencjalna nigdzie nie zamienia się w nieskończoność, ani nie zamienia się w w pewnym momencie wolniej niż , gdzie Jeżeli odległość do tego punktu, to funkcja falowa musi być skończona w całej przestrzeni [7] .

Średnie wartości wielkości mechanicznych dla pakietu falowego , które można opisać równaniem Schrödingera, spełniają klasyczne równania Hamiltona ( twierdzenie Ehrenfesta )[8] .

Równanie Schrödingera jest niezmienne w transformacjach Galileusza . Z tego faktu wynika szereg ważnych konsekwencji: istnienie szeregu operatorów mechaniki kwantowej związanych z transformacjami Galileusza, niemożność opisania stanów widmem masowym lub niestabilnych cząstek elementarnych w nierelatywistycznej mechanice kwantowej ( twierdzenie Bargmana ), istnienie kwantowo-mechaniczne niezmienniki generowane przez transformację Galileusza[9] .

Równanie Schrödingera jest bardziej złożone niż równania hamiltonowskie mechaniki klasycznej. Równania Hamiltona są układem równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu , a równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym cząstkowym [10] .

Równanie Schrödingera jest liniowe, to znaczy, jeśli działa fala oraz spełniają równanie Schrödingera, to dowolna ich kombinacja liniowa spełnia je , gdzie oraz - liczby zespolone [11] . W rezultacie liniowa superpozycja funkcji falowych nie jest naruszana przez równanie Schrödingera i wymagana jest operacja pomiaru w celu zmniejszenia funkcji falowej. Liniowość operatora Schrödingera jest konsekwencją i uogólnieniem zasady superpozycji , która jest ważna dla prawidłowego sformułowania koncepcji operacji pomiarowej [12] .

Dla wszystkich układów kwantowych zajmujących ograniczone obszary przestrzeni rozwiązania równania Schrödingera istnieją tylko dla przeliczalnego zbioru wartości energii i reprezentują policzalny zestaw funkcji falowych którego członkowie są ponumerowani zbiorem liczb kwantowych ... [7] [13] . Funkcja falowa stan normalny (o najniższej energii) nie znika (nie ma węzłów) nigdzie w przestrzeni. Normalny poziom energii nie może ulec degeneracji. Twierdzenie o oscylacji : dla ruchu jednowymiarowego funkcja falowa dyskretne widmo odpowiadające - mu największa wartość własna , znika (dla wartości skończonych współrzędnej x) razy [7] .

Równanie Schrödingera, podobnie jak równania Hamiltona, jest równaniem pierwszego rzędu w czasie. Jest matematycznym wyrazem zasady determinizmu statystycznego w mechanice kwantowej - dany stan układu nie określa jednoznacznie jego kolejnego stanu, a jedynie z pewnym prawdopodobieństwem określonym funkcją falową ...

Równanie Schrödingera jest symetryczne względem obu kierunków czasu. Ta symetria wyraża się w jej niezmienności, gdy znak się zmienia. i jednoczesne zastąpienie funkcji falowej do złożonego koniugatu [14] .

Gdyby oraz - dwa rozwiązania równania Schrödingera, to ich iloczyn skalarny nie zmienia się w czasie: ... Wynika to z równości do zera pochodnej iloczynu skalarnego [15] :

Ograniczenia stosowania

Równanie Schrödingera nie może wyjaśnić emisji spontanicznej , ponieważ funkcja falowa stanu wzbudzonego jest dokładnym rozwiązaniem zależnego od czasu równania Schrödingera [16] [17] .

Równanie Schrödingera nie może opisać procesu pomiarowego w mechanice kwantowej, ponieważ jest on liniowy, deterministyczny i odwracalny w czasie, a proces pomiarowy jest nieliniowy, stochastyczny i nieodwracalny w czasie [18] .

Równanie Schrödingera nie może opisywać procesów wzajemnych przemian cząstek elementarnych . Procesy wzajemnych przekształceń cząstek opisuje relatywistyczna kwantowa teoria pola.

Treść

Sprawa ogólna

W fizyce kwantowej wprowadzono funkcję o wartościach zespolonych , opisujący czysty stan obiektu, który nazywa się funkcją falową . W najpowszechniejszej interpretacji kopenhaskiej funkcja ta jest związana z prawdopodobieństwem wykrycia obiektu w jednym z czystych stanów (kwadrat modułu funkcji falowej to gęstość prawdopodobieństwa ) [19] [20] . Zachowanie układu hamiltonowskiego w stanie czystym jest w pełni opisane za pomocą funkcji falowej.

Porzuciwszy opis ruchu cząstki za pomocą trajektorii otrzymanych z praw dynamiki , a zamiast tego wyznacząc funkcję falową, należy wprowadzić pod uwagę równanie równoważne prawom Newtona i dające przepis na znalezienie w szczególności problemy fizyczne. Takim równaniem jest równanie Schrödingera.

Niech funkcja falowa będzie podana w n-wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej , a następnie w każdym punkcie o współrzędnych , w pewnym momencie to będzie wyglądać ... W takim przypadku równanie Schrödingera zostanie zapisane w postaci:

gdzie , - stała Plancka ; - masa cząstek, Czy energia potencjalna jest na zewnątrz cząstki w punkcie? w tym momencie , - operator Laplace'a (lub Laplace'a) jest odpowiednikiem kwadratu operatora nabla i w n-wymiarowym układzie współrzędnych ma postać:

Przypadek przestrzeni trójwymiarowej

W przypadku trójwymiarowym funkcja psi jest funkcją trzech współrzędnych, a w kartezjańskim układzie współrzędnych zastępuje wyrażenie

wtedy równanie Schrödingera przyjmuje postać:

gdzie , - stała Plancka ; - masa cząstek, - energia potencjalna w punkcie w czasie t .

Stacjonarne równanie Schrödingera

Z postaci równania Schrödingera wynika, że ​​w odniesieniu do czasu jego rozwiązanie powinno być proste, ponieważ czas wchodzi do tego równania tylko przez pierwszą pochodną po prawej stronie. Rzeczywiście, szczególne rozwiązanie w przypadku, gdy nie jest funkcją czasu, można go zapisać jako:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2) . Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени) .

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1) , общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2) . Зависимость функции от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Уравнение Шрёдингера в инвариантной форме

Пусть классическая кинетическая энергия динамической системы имеет вид: . Величины можно рассматривать как компоненты метрического тензора в пространстве измерений. В прямоугольных декартовых координатах — это просто массы частиц, а — обратные массы.

Уравнение Шрёдингера в инвариантной форме имеет вид:

Здесь — определитель матрицы .

Методы решения уравнения Шрёдингера

  • Аналитический метод. Решение ищется в виде точного математического выражения. Этот метод применим лишь в немногих простейших случаях (одноэлектронные атомы, линейный осциллятор, потенциальная яма с бесконечно высокими стенками и т. п.) [22] .
  • Метод возмущений . Оператор Гамильтона рассматривается как сумма двух слагаемых. Одно из них рассматривается как невозмущённый оператор, имеющий точное аналитическое решение. Другое слагаемое рассматривается как малая возмущающая добавка к нему. При стационарном возмущении решение заключается в разложении собственных значений и собственных функций в ряд по степеням малой постоянной возмущения и нахождении приближённого решения системы получаемых уравнений. [23] При нестационарном возмущении волновая функция ищется в виде линейной комбинации собственных волновых функций с коэффициентами, зависящими от времени [24] .
  • Метод Ритца . Применяется для решения стационарного уравнения Шрёдингера. Определяются экстремальные значения средней полной энергии системы при помощи варьирования параметров некоторой пробной функции [25] .
  • Метод Хартри — Фока .
  • Метод ВКБ .

Переход к классической механике

Уравнение Шрёдингера, описывающее движение микрообъекта в потенциальном поле :

Волновую функцию микрочастицы при можно представить в виде . Вследствие тождеств и уравнение Шрёдингера в этом случае можно записать в виде: .

При это уравнение переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики:

.

Существование предельного перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби и даёт основание рассматривать механику Ньютона как предельный случай более общей квантовой механики, пригодной для описания как микроскопических, так и макроскопических объектов ( принцип соответствия ).

Аналогии и связи с другими уравнениями

Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в пустом пространстве

можно путём введения новой комплексной величины , аналогичной волновой функции в уравнении Шрёдингера, преобразовать в одно уравнение

похожее на уравнение Шрёдингера [27] .

Уравнение Шрёдингера сходно с уравнениями теплопроводности и диффузии классической физики тем, что оно является уравнением первого порядка по времени и отличается от них наличием мнимого коэффициента перед . Благодаря ему оно может иметь и периодические решения [28] .

Уравнение Шрёдингера можно получить из принципа наименьшего действия , рассматривая как уравнение Эйлера

некоторой вариационной задачи, в которой плотность лагранжиана имеет вид [29] [30] :

Уравнение Дирака можно записать в виде уравнения Шрёдингера:

Здесь: , ,

В ряде случаев решение стационарного уравнения Шрёдингера методом ВКБ можно искать в виде , причём действие удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби . Разлагая функцию в ряд по степеням параметра : , получают в нулевом приближении для стационарное уравнение Гамильтона — Якоби, в следующих приближениях — поправки разного порядка [31] .

Наводящие соображения

Волновое уравнение для волн де Бройля

К уравнению Шредингера можно прийти путём обобщения волнового уравнения на случай волн Де Бройля : [32]

где оператор Лапласа , волновая функция , обладающая свойствами волны де Бройля, — время, — пространственная координата, фазовая скорость .

Если волновая функция является монохроматической, то решение этого уравнения можно представить в виде:

где круговая частота .

Уравнение для пространственной части волновой функции :

Воспользуемся выражением для длины волны:

Уравнение для пространственной части волновой функции принимает вид:

С учётом выражения для длины волны де Бройля :

и закона сохранения энергии :

где импульс частицы, постоянная Планка , — масса частицы, потенциальная энергия частицы, — полная энергия частицы.

Получаем:

В итоге имеем стационарное уравнение Шрёдингера:

Для перехода к нестационарному уравнению Шредингера представим стационарное уравнение Шредингера в виде:

где .

При помощи равенства

приходим к нестационарному уравнению Шредингера:

Оператор сдвига во времени

В квантовой механике производную по времени от волновой функции можно рассматривать как оператор смещения по времени, по аналогии с классической механикой и соотношению между энергией и временем, можно предположить, что его роль всегда играет гамильтониан . Отсюда немедленно следует уравнение Шрёдингера [33] [34] .

Соответствие между классической механикой и геометрической оптикой

К уравнению Шрёдингера можно прийти, опираясь на соответствие между классической механикой и геометрической оптикой. Понятиям материальной точки, траектории, скорости, потенциальной энергии, энергии, вариационному принципу Мопертюи в классической механике соответствуют понятия волнового пакета, луча, групповой скорости, фазовой скорости (показателя преломления), частоты, вариационного принципа Ферма в геометрической оптике [35] .

Вариационному принципу Мопертюи в классической механике

(1)

соответствует вариационный принцип Ферма в оптике

(2)

Здесь — полная энергия, — потенциальная энергия, — фазовая скорость. Траектория в классической механике соответствует лучу света в оптике, если

(3)

Волновой пакет можно представить в виде

Для максимума пакета справедливо равенство:

Из этого равенства следует, что . В классической механике этому соответствует равенство . Из этих двух выражений получается формула для групповой скорости [36] :

(4)

Тогда условие равенства скорости материальной точки и групповой скорости волнового пакета можно записать в виде [37] :

(5)

Отсюда, используя (3), получаем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим

Первое из них дает , тогда из второго следует , , . Фазовая скорость волны зависит от частоты :

(6)

Монохроматическая волна с фазовой скоростью удовлетворяет уравнению

(7)

Частное решение этого уравнения имеет вид:

(8)

где — частота волны. Подставив решение (8) в уравнение (7) получаем:

(9)

Подставляя (6) в (9), получаем:

(10)

Из уравнения (8) получаем:

(11)

Подставляя (11) в (10) получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера (12) [38] :

(12)

Обобщения

Уравнение Шрёдингера в электромагнитном поле

Нерелятивистскую бесспиновую частицу в электромагнитном поле , задаваемом потенциалами и , описывает уравнение Шрёдингера в магнитном поле (потенциал электрического поля — скалярный и входит как обычное слагаемое ):

Здесь оператор импульса . Это уравнение записано в Гауссовой системе единиц . В системе СИ коэффициент при равен не , а .

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера имеет вид:

где комплекснозначная функция .

Применяется при описании нелинейных квантовомеханических явлений.

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля при изучении релятивистских процессов с уничтожением и рождением элементарных частиц известно обобщение уравнения Шредингера в вариационных производных:

Здесь амплитуда состояния , — интенсивность взаимодействия, — плотность обобщенной функции Гамильтона, матрица рассеяния [39] .

Это уравнение может быть переписано в форме функционального дифференциального уравнения Швингера — Томонаги :

где — пространственно-подобная поверхность в пространстве Минковского [40] .

См. также

Примечания

  1. Пригожин, 2006 , с. 74.
  2. Капица П. Л. Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодёжи // Эксперимент, теория, практика. — М., Наука, 1981. — с. 257.
  3. Кузнецов Б. Г. Основные идеи квантовой механики // отв. ред. Григорьян А. Т. , Полак Л. С. Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — С. 390-421;
  4. The Nobel Prize in Physics 1933 Erwin Schrödinger
  5. Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics (неопр.) . — 2nd. — Springer Science+Business Media / Springer Science+Business Media , 1994. — С. 143. — ISBN 978-0-306-44790-7 .
  6. Мотт, 1966 , с. 52.
  7. 1 2 3 4 Ландау Л. Д. , Лившиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 78 — 82
  8. Паули, 1947 , с. 47.
  9. Кемпфер, 1967 , с. 390.
  10. Широков, 1972 , с. 24.
  11. Пенроуз, 2003 , с. 234.
  12. Паули, 1947 , с. 43.
  13. Ширков, 1980 , с. 464.
  14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 83
  15. Любарский Г Я Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 123
  16. Вигнер, 1961 , с. 67.
  17. Мигдал, 1966 , с. 49.
  18. Вигнер, 2002 , с. 145.
  19. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М. : Физматлит , 2004 . — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
  20. В. А. Фок. Начала квантовой механики. — Л.: Кубуч, 1932; 2-е изд. — М.: Наука, 1976.
  21. Мотт Н. , Снеддон И. Волновая механика и её применения. - М., Наука, 1966. - c. 77-78
  22. Ферми, 1968 , с. 28.
  23. Ферми, 1968 , с. 191.
  24. Ферми, 1968 , с. 211.
  25. Грибов, 1999 , с. 234.
  26. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение , 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 212-213
  27. Мотт, 1966 , с. 21.
  28. Блохинцев, 1963 , с. 115.
  29. Кушниренко, 1971 , с. 38.
  30. Дж. Займан Современная квантовая теория. — М., Мир, 1971. — c. 30
  31. Гречко Л. Г., Сугаков В. И., Томасевич О. Ф. Сборник задач по теоретической физике. — М., Высшая школа, 1972. — с. 58
  32. Соколов А. А. , Тернов И. М. Квантовая механика и атомная физика. — М., Просвещение, 1970. — 39-40, 52
  33. П. А. М. Дирак Принципы квантовой механики. - М., Наука, 1960. - с. 148-152
  34. Кузнецов Б. Г. Основные идеи квантовой механики // отв. ред. Григорьян А. Т. , Полак Л. С. Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР , 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 403, 411, 412;
  35. Ферми, 1968 , с. 15.
  36. Ферми, 1968 , с. 17.
  37. Ферми, 1968 , с. 19.
  38. Ферми, 1968 , с. 21.
  39. Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М., ГИТТЛ, 1957. — с. 396—397
  40. Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М., ГИТТЛ, 1957. — с. 399—401

Ссылки

Литература