Kąt bryłowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Kąt bryłowy

Kąt bryłowy to część przestrzeni, która jest sumą wszystkich promieni wychodzących z danego punktu ( wierzchołka kąta) i przecinających pewną powierzchnię (nazywaną powierzchnią, która kurczy się o dany kąt bryłowy). Kąty trójkątne i wielościenne są szczególnymi przypadkami kąta bryłowego. Granicą kąta bryłowego jest pewna powierzchnia stożkowa . Kąt bryłowy jest zwykle oznaczony literą Ω .

Kąt bryłowy mierzy się stosunkiem powierzchni tej części kuli wyśrodkowanej na wierzchołku kąta, który jest przecięty tym kątem bryłowym, do kwadratu promienia kuli:

Steradian

Kąty bryłowe są mierzone wielkościami abstrakcyjnymi (bezwymiarowymi). Jednostką miary kąta przestrzennego w układzie SI jest steradian , który jest równy kątowi przestrzennemu wycinającemu powierzchnię o polu r 2 z kuli o promieniu r . Pełna kula tworzy kąt bryłowy równy 4 steradianom π ( pełny kąt bryłowy ) dla wierzchołka znajdującego się wewnątrz kuli, w szczególności dla środka kuli; tak samo jest z kątem bryłowym, pod którym każda zamknięta powierzchnia jest widoczna z punktu całkowicie pokrytego tą powierzchnią, ale nie należącego do niej. Oprócz steradianów kąt bryłowy można mierzyć w stopniach kwadratowych, minutach kwadratowych i sekundach kwadratowych, a także w ułamkach całkowitego kąta bryłowego.

Kąt bryłowy ma zerowy wymiar fizyczny .

Podwójny kąt bryłowy do danego kąta bryłowego Ω definiuje się jako kąt składający się z promieni tworzących kąt nieostry z dowolnym promieniem kąta Ω .

Współczynniki przeliczeniowe dla jednostek kąta bryłowego.

Steradian kw. stopień kw. minuta kw. druga Pełny kąt
1 steradian = 1 (180 / π) ²
≈ 3282.806 kw. stopnie
(180 × 60 / π) ² ≈
≈ 1.1818103⋅10 7 kw. minuty
(180 × 60 × 60 / π) ² ≈
≈ 4.254517⋅10 10 mkw. sekundy
1 / 4π
≈0,07957747 pełny kąt
1 kw. stopień = (π / 180) ² ≈
≈ 3.0461742⋅10 -4 steradyny
1 60² =
= 3600 mkw. minuty
(60 × 60) ² =
= 12 960 000 mkw. sekundy
π / (2 × 180) ² ≈
≈ 2.424068⋅10 -5 kąta pełnego
1 kw. minuta = (π / (180 × 60)) ² ≈
≈ 8.461595⋅10 -8 steradian
1 / 60²
≈ 2,777778⋅10 -4 kw. stopnie
1 60² =
= 3600 mkw. sekundy
π / (2 × 180 × 60) ² ≈
≈ 6,73352335⋅10 -9 pełny kąt
1 kw. drugi = (π / (180 × 60 × 60)) ² ≈
≈ 2.35044305⋅10 -11 steradianów
1 / (60 × 60) ² ≈
≈ 7,71604938⋅10 -8 kw. stopnie
1 / 60²
≈ 2.7777778⋅10 -4 kw. minuty
1 π / (2 × 180 × 60 × 60) ² ≈
≈ 1.87042315⋅10 -12 kąta pełnego
Pełny kąt =
≈ 12.5663706 steradian
(2 × 180) ² / π ≈
≈ 41.252.96125 kw. stopnie
(2 × 180 × 60) ² / π ≈
≈ 1.48511066⋅10 8 kw. minuty
(2 × 180 × 60 × 60) ² / π ≈
≈ 5.34638378⋅10 11 kw. sekundy
1

Obliczanie kątów bryłowych

Dla dowolnej powierzchni kurczącej się S kąt bryłowy Ω, pod którym jest widoczny od początku jest równy

gdzie - współrzędne sferyczne elementu powierzchniowego - jego wektor promienia, Czy wektor jednostkowy jest normalny do

Właściwości kąta bryłowego

  1. Pełny kąt bryłowy (pełna sfera) to 4 steradiany π .
  2. Suma wszystkich kątów bryłowych podwójnych do wewnętrznych kątów bryłowych wielościanu wypukłego jest równa kątowi całkowitemu.

Wartości niektórych kątów bryłowych

  • Trójkąt ze współrzędnymi wierzchołków , , widziane od początku pod kątem bryłowym
gdzie - mieszany produkt tych wektorów, - iloczyny skalarne odpowiednich wektorów, wektory pogrubioną czcionką, ich długości zwykłą czcionką. Korzystając z tego wzoru, możesz obliczyć kąty bryłowe skrócone przez dowolne wielokąty o znanych współrzędnych wierzchołków (w tym celu wystarczy podzielić wielokąt na rozłączne trójkąty).
  • Kąt bryłowy na wierzchołku prawego okrągłego stożka o kącie wierzchołkowym α wynosi Jeśli znany jest promień podstawy i wzrost stożek, więc Gdy kąt otwarcia stożka jest mały, (zastrzyk wyrażone w radianach), lub (zastrzyk wyrażone w stopniach). Tak więc, stały kąt, pod którym księżyca i Słońca jest widoczna z Ziemi (ich średnica kątowego jest w przybliżeniu równa 0,5 °), to jest o 6⋅10 -5 steradianów lub ≈0.0005% powierzchni w sferze niebieskiej (czyli pełny kąt bryłowy) ...
  • Kąt bryły dwuściennej w steradianach jest dwukrotnie większy niż dwuścienny w radianach.
  • Kąt bryłowy kąta trójściennego jest wyrażony przez twierdzenie Luiliera poprzez jego kąty płaskie u góry jako:
gdzie - półobwód.
Przez dwuścienne narożniki kąt bryłowy jest wyrażony jako:
  • Kąt bryłowy, pod którym widoczna jest ściana N- ścianu foremnego od jego środka, wynosi pełny kąt bryłowy, lub steradian.
  • Kąt bryłowy na wierzchołku pochyłego okrągłego stożka
    Kąt bryłowy, pod którym okrąg o promieniu R jest widoczny z dowolnego punktu w przestrzeni (czyli kąt bryłowy na wierzchołku dowolnego okrągłego stożka, niekoniecznie prawego) jest obliczany przy użyciu pełnych całek eliptycznych pierwszego i III rodzaj [1] :
w
w
gdzie oraz - pełne normalne całki eliptyczne Legendre'a odpowiednio I i III rodzaju;
- odległość od środka podstawy stożka do rzutu wierzchołka stożka na płaszczyznę podstawy;
- wysokość stożka;
- długość maksymalnej tworzącej stożka;

Literatura

Zobacz też

Notatki (edytuj)

  1. Paxton F. Obliczanie kąta bryłowego dla dysku kołowego (ang.) // Przegląd instrumentów naukowych . - 1959. - kwiecień ( vol. 30 , nr 4 ). - str . 254-258 . - doi : 10.1063 / 1.1716590 . - Kod bib : 1959RScI ... 30..254P .