Zasada niepewności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Zobacz też: Portal: Fizyka

Zasada nieoznaczoności Heisenberga (lub Heisenberga ) w mechanice kwantowej jest fundamentalną kwestią (relacją niepewności), która wyznacza granicę dokładności równoczesnego wyznaczania pary obserwabli kwantowych charakteryzujących układ opisany przez operatory nieprzemienne (na przykład współrzędne oraz pęd, prąd i napięcie, pola elektryczne i magnetyczne). Im bardziej przystępna brzmi to tak: im dokładniej mierzy się jedną cechę cząstki, tym mniej dokładnie można zmierzyć drugą. Relacja niepewności [* 1] wyznacza dolną granicę iloczynu odchyleń standardowych pary obserwabli kwantowych. Zasada nieoznaczoności, odkryta przez Wernera Heisenberga w 1927 roku , jest jednym z kamieni węgielnych fizycznej mechaniki kwantowej [1] [2] . Jest to konsekwencja zasady dualizmu cząsteczkowo-falowego[3] [4] .

Krótka recenzja

Relacje niepewności Heisenberga stanowią teoretyczną granicę dokładności jednoczesnych pomiarów dwóch nieprzemiennych obserwowalnych. Są one ważne zarówno dla pomiarów idealnych , czasami nazywanych pomiarami von Neumanna , jak i pomiarów nieidealnych [*2] .

Zgodnie z zasadą niepewności położenia i prędkości (pędu) cząstki nie można jednocześnie dokładnie zmierzyć [* 3] . Zasada nieoznaczoności, już w postaci pierwotnie zaproponowanej przez Heisenberga, ma zastosowanie również w przypadku, gdy żadna z dwóch skrajnych sytuacji nie zostanie zrealizowana (w pełni zdefiniowany pęd i całkowicie nieokreślona współrzędna przestrzenna lub całkowicie nieokreślony pęd i całkowicie zdefiniowana współrzędna).

Przykład: cząsteczka o określonej wartości energetycznej w pudełku o doskonale odbijających ścianach ; nie charakteryzuje się określoną wartością pędu (biorąc pod uwagę jego kierunek! [* 4] ), ani żadną określoną „pozycją” czy współrzędną przestrzenną (funkcja falowa cząstki jest zdelokalizowana w całej przestrzeni pudełka , to znaczy jego współrzędne nie mają określonego znaczenia, cząstki lokalizacji nie są dokładniejsze niż rozmiar pudełka).

Relacje niepewności nie ograniczają dokładności pojedynczego pomiaru dowolnej wielkości (dla wielkości wielowymiarowych zwykle zakłada się tu tylko jeden składnik). Jeśli jego operator dojeżdża do siebie w różnych momentach czasu , nie ma ograniczonej dokładności i wielokrotny (lub ciągły) pomiar jednej wartości. Na przykład zależność niepewności dla cząstki swobodnej nie uniemożliwia dokładnego pomiaru jej pędu, ale nie pozwala na dokładny pomiar jej współrzędnej (ograniczenie to nazywa się standardową granicą kwantową dla współrzędnej).

Relacja niepewności w mechanice kwantowej w sensie matematycznym jest bezpośrednią konsekwencją pewnej właściwości transformaty Fouriera [* 5] .

Istnieje dokładna analogia ilościowa między relacjami niepewności Heisenberga a właściwościami fal lub sygnałów . Rozważ sygnał zmienny w czasie, taki jak fala dźwiękowa . Nie ma sensu mówić o widmie częstotliwości sygnału w dowolnym momencie. Aby dokładnie określić częstotliwość, konieczne jest obserwowanie sygnału przez pewien czas, tracąc w ten sposób dokładność pomiaru czasu. Innymi słowy, dźwięk nie może jednocześnie mieć dokładnej wartości czasu jego utrwalenia, jak ma bardzo krótki impuls, i dokładnej wartości częstotliwości, jak w przypadku ciągłego (i w zasadzie nieskończenie długiego) czysty ton (czysta sinusoida). Pozycja czasowa i częstotliwość fali są matematycznie całkowicie analogiczne do współrzędnej i kwantowego mechanicznego pędu cząstki. Co wcale nie jest zaskakujące, jeśli o tym pamiętasz to znaczy, że impuls w mechanice kwantowej jest częstotliwością przestrzenną wzdłuż odpowiedniej współrzędnej.

W życiu codziennym, obserwując obiekty makroskopowe lub mikrocząstki poruszające się w makroskopowych obszarach przestrzeni, zwykle nie zauważamy niepewności kwantowej, ponieważ wartość jest niezwykle mała, dlatego efekty wynikające z relacji niepewności są tak znikome, że nie są one wychwytywane przez przyrządy pomiarowe czy narządy zmysłów [5] .

Definicja

Jeśli w danym stanie istnieje kilka (wiele) identycznych kopii układu, to zmierzone wartości współrzędnych i pędu będą podlegały pewnemu rozkładowi prawdopodobieństwa - to podstawowy postulat mechaniki kwantowej. Pomiar wartości odchylenia standardowego współrzędne i odchylenie standardowe pęd, stwierdzamy, że

,

gdzie ħ jest zredukowaną stałą Plancka .

Zauważ, że ta nierówność daje kilka możliwości - w fizyce nierelatywistycznej stan może być taki, że można zmierzyć z dowolnie dużą dokładnością, ale wtedy będzie znany tylko w przybliżeniu; lub odwrotnie, można określić z dowolnie dużą dokładnością, natomiast - Nie. We wszystkich innych stanach i , oraz można zmierzyć z „rozsądną” (ale nie arbitralnie wysoką) precyzją.

W fizyce relatywistycznej w układzie odniesienia w spoczynku względem mikroobiektu występuje minimalny błąd pomiaru jego współrzędnych ... Ten błąd odpowiada niepewności impulsu odpowiadająca minimalnej energii progowej tworzenia pary cząstka-antycząstka, w wyniku czego sam proces pomiaru staje się bezsensowny.

W układzie odniesienia, względem którego mikroobiekt porusza się z energią , minimalny błąd pomiaru jego współrzędnych ... W granicznym przypadku ultrarelatywistycznych energii energia jest powiązana z pędem as oraz , czyli błąd pomiaru współrzędnych pokrywa się z długością fali de Broglie mikroobiektu [6] .

Kiedy osiąga się równość

Równość w relacji niepewności osiąga się wtedy i tylko wtedy, gdy forma reprezentacji wektora stanu układu w reprezentacji współrzędnej pokrywa się z formą jego reprezentacji w reprezentacji impulsowej (nie zmienia się pod wpływem transformacji Fouriera) [7] .

Warianty i przykłady

Uogólniona zasada niepewności

Zasada nieoznaczoności dotyczy nie tylko współrzędnych i pędu (jak po raz pierwszy zaproponował Heisenberg). W swojej ogólnej formie dotyczy każdej pary zmiennych sprzężonych . W ogólnym przypadku, w przeciwieństwie do omówionego powyżej przypadku współrzędnych i pędu, dolna granica iloczynu „niepewności” dwóch sprzężonych zmiennych zależy od stanu układu. Zasada nieoznaczoności staje się wówczas twierdzeniem w teorii operatorów, które zostanie przedstawione poniżej.

Twierdzenie . Dla dowolnych operatorów samosprzężonych : oraz i dowolny element z takie, że oraz oba są zdefiniowane (czyli w szczególności oraz są również zdefiniowane), mamy:

Jest to bezpośrednia konsekwencja nierówności Cauchy'ego-Buniakowskiego .

Dlatego prawdziwa jest następująca ogólna postać zasady nieoznaczoności , po raz pierwszy wydedukowana w 1930 roku przez Howarda Percy Robertsona i (niezależnie) Erwina Schrödingera :

Ta nierówność nazywana jest relacją Robertsona-Schrödingera .

Operator zwany przełącznikiem oraz i oznaczony jako ... Jest zdefiniowany dla tych dla których zarówno oraz ...

Relacja Robertsona-Schrödingera natychmiast implikuje relację niepewności Heisenberga :

Przypuszczać oraz - dwie wielkości fizyczne związane z operatorami samosprzężonymi. Gdyby oraz zdefiniowane, a następnie:

,

gdzie:

Jest średnią wartością operatora wartości zdolny do systemy i

Jest operatorem odchylenia standardowego ilości zdolny do systemy.

Powyższe definicje średniej i odchylenia standardowego są formalnie zdefiniowane wyłącznie w kategoriach teorii operatorów. Stwierdzenie to nabiera jednak większego znaczenia, gdy zauważymy, że są one w rzeczywistości średnią i odchyleniem standardowym zmierzonego rozkładu wartości. Zobacz kwantowa mechanika statystyczna .

To samo można zrobić nie tylko dla pary sprzężonych operatorów (na przykład współrzędnych i pędu lub czasu trwania i energii ), ale ogólnie dla dowolnej pary operatorów hermitowskich . Istnieje zależność niepewności między natężeniem pola a liczbą cząstek, co prowadzi do zjawiska cząstek wirtualnych .

Możliwe jest również, że istnieją dwa niekomutujące operatory samosprzężone oraz które mają ten sam wektor własny ... W tym przypadku jest czystym stanem, który jest jednocześnie mierzalny dla oraz ...

Powszechne obserwable zgodne z zasadą nieoznaczoności

Dotychczasowe wyniki matematyczne pokazują, jak znaleźć zależności niepewności między zmiennymi fizycznymi, a mianowicie określić wartości par zmiennych oraz którego komutator ma pewne właściwości analityczne.

  • najbardziej znana zależność niepewności dotyczy współrzędnej i pędu cząstki w przestrzeni:

Z zasady nieoznaczoności między pędem a współrzędną wynika, że ​​im mniejsze badane odległości, tym więcej energii powinny mieć cząstki elementarne. W regionie ultrarelatywistycznym ( ) energia proporcjonalny do pędu : a relacja niepewności dla energii i współrzędnej przyjmuje postać , więc , gdzie wyrażona w GeV , oraz w cm . Stosunek ten określa energię cząstek elementarnych potrzebną do osiągnięcia określonych małych odległości między nimi. Dla zbieżności cząstek elementarnych na odległość cm i mniejsza potrzeba dodawania im energii, więcej GeV [8] .

gdzie inny i wskazuje moment pędu wzdłuż osi ...
  • W podręcznikach fizyki często przedstawiany jest następujący związek niepewności między energią a czasem, choć jego interpretacja wymaga ostrożności, gdyż nie ma operatora reprezentującego czas:

Это соотношение можно понимать одним из трёх возможных способов [9] :

  1. — неопределённость энергии состояния микрообъекта, пребывающего в этом состоянии время .
  2. — неопределённость энергии микрообъекта в некотором процессе длительностью .
  3. — максимальная точность определения энергии квантовой системы, достижимая путём процесса измерения, длящегося время .

Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет [10] .

  • Соотношение неопределённости между числом фотонов и фазой волны. Рассмотрим монохроматическое электромагнитное излучение в

некотором объёме. С корпускулярной точки зрения оно представляет собой коллектив фотонов с энергией каждого фотона . С волновой точки зрения — классическую волну с фазой . Корпускулярная и волновая величины связаны соотношением неопределённостей:

Это соотношение следует из соотношения неопределённостей для энергии и времени. Для измерения энергии любого квантового объекта с точностью надо затратить время . Неопределённость энергии коллектива фотонов , где - неопределённость числа фотонов. Чтобы её измерить, необходимо время . За это время изменение фазы волны . Получаем [11] .

  • Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и радиальной координатой частицы: ,

где гравитационный радиус , радиальная координата , планковская длина , которое является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к планковскому масштабу . [12] Действительно, это соотношение можно написать в следующем виде: , где гравитационная постоянная , — масса тела, скорость света , постоянная Дирака . Сокращая слева и справа одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга . Установленное соотношение неопределенностей предсказывает появление виртуальных черных дыр и червоточин ( квантовой пены ) на планковском масштабе.

  • Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы необходимо, чтобы оба самосопряжённых оператора были определены на одном

и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента и оператор азимутального угла . Первый из них является самосопряжённым только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор очевидно выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы вместо можно взять , что приведёт к следующей форме принципа неопределённости [** 1] :

.
Однако при условие периодичности несущественно, и принцип неопределённости принимает привычный вид:
.

Замечание

Для трёхмерного осциллятора принцип неопределённости принимает вид:

,

а для оператора числа частиц и угла вид:

.

(см. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., М., Наука, 1971. С. 58-59.)

Вывод в квантовой теории оценивания

Принцип неопределённости координата-импульс альтернативно выводится как оценка максимального правдоподобия в квантовой теории оценивания [13] .

Принцип неопределённости время-энергия альтернативно выводится как выражение квантового неравенства Крамера — Рао в квантовой теории оценивания , в случае когда измеряется положение частицы [14] .

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом, время уже точно известно. Мы всё ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдёт, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта , и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности), произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну : «Бог не играет в кости» [** 2] . Нильс Бор , который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать» [** 3] .

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут всё ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что в квантовой механике существуют скрытые переменные , которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе

Принцип неопределённости часто неправильно [ источник не указан 3340 дней ] понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка состоит в том, что наблюдение события изменяет само событие [ источник не указан 2609 дней ] . Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет ( см. выше ). Например, проекции импульса на оси и можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала « Звёздный Путь » в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта: «Предвиденье, — понял он, — словно луч света, за пределами которого ничего не увидишь, он определяет точную меру… и, возможно, ошибку». Оказывается, и в его провидческих способностях крылось нечто вроде принципа неопределённости Гейзенберга: чтобы увидеть, нужно затратить энергию, а истратив энергию, изменишь увиденное."

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

См. также

Примечания

  1. Для каждой пары сопряжённых величин имеется своё соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид ; поэтому этот термин часто употребляется во множественном числе ( соотношения неопределённостей ), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
  2. Существуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями .
  3. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
  4. В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определён, но зато не определено его направление.
  5. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f ( x ) и её фурье-образ (спектр) F ( k ) — то есть Очевидно, что если мы «сожмём функцию f » по x в A раз, то есть перейдём к функции f A ( x ) = f ( Ax ) , то её спектр растянется во столько же раз: F A ( k ) = const· F ( k / A ) , поскольку частота каждой спектральной гармоники этого разложения должны будут, очевидно, умножиться на A . Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов , показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределённостей Гейзенберга, только без ħ в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношение неопределённостей Гейзенберга при ħ = 1 ).

Литература

Источники
  1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — М. : Наука, 1973.
  2. Точнее: «Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убеждён, что [он] не играет в кости» ( Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt ). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
  3. Chad Meister Introducing philosophy of religion
Журнальные статьи
О соотношениях неопределённостей Шрёдингера
Дополнительно
  1. Клайн Б. В поисках. Физики и квантовая теория. — М., Атомиздат, 1971. — Тираж 58000 экз. — с. 192—216
  2. Гейзенберг В. Развитие интерпретации квантовой теории // Нильс Бор и развитие физики. — М., ИЛ, 1958. — c. 23-45
  3. Широков, 1972 , с. 20.
  4. Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 63.
  5. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю. И. Дика. — 5-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — ISBN 5-9221-0382-2 . — С. 136—139.
  6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 264—265
  7. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . — С. 453.
  8. Широков, 1972 , с. 262.
  9. Яворский, 2007 , с. 744.
  10. Воронцов Ю. И. Соотношение неопределённости энергия — время измерения , УФН , 1981, т. 135, с.337
  11. Тарасов Л. В. Соотношения неопределённостей // Основы квантовой механики. — М: Высшая школа, 1978. — С. 42.
  12. Philosophy Documentation Center, Western University, Canada, 2017, pp.25-30
  13. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Оценка максимального правдоподобия. Принцип неопределённостей // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 272—277.
  14. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Квантовое неравенство Крамера — Рао. Параметр смещения и соотношение неопределённости время-энергия // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 301—302.

Ссылки