Ten artykuł jest jednym z dobrych artykułów

Wzór Plancka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Promieniowanie ciał doskonale czarnych o różnych temperaturach zgodnie z prawem Plancka

Wzór Plancka ( Prawo Plancka ) to wzór opisujący gęstość widmową promieniowania, które jest tworzone przez całkowicie czarne ciało o określonej temperaturze . Formuła została odkryta przez Maxa Plancka w 1900 roku i nosi imię jego nazwiska. Jej odkryciu towarzyszyło pojawienie się hipotezy, że energia może przyjmować tylko wartości dyskretne . Ta hipoteza nie była uważana za znaczącą przez pewien czas po odkryciu, ale, jak się powszechnie uważa, dała początek fizyce kwantowej .

Formuła

Wzór Plancka jest wyrażeniem gęstości widmowej promieniowania wytworzonego przez absolutnie czarne ciało o określonej temperaturze . Istnieją różne formy zapisywania tego wzoru [1] [2] .

Jasność energii

Wzór wyrażający gęstość widmową luminancji jest następujący[3] :

gdzie - częstotliwość promieniowania , - temperatura ciała doskonale czarnego, - stała Plancka , - prędkość światła , Jest stałą Boltzmanna . W układzie SI ilość we wzorze ma wymiar W · m −2 · Hz −1 · sr −1 . Jego fizyczne znaczenie to jasność energetyczna w małym zakresie częstotliwości. podzielony przez ... Możesz użyć podobnego wzoru, w którym blask będzie funkcją długości fali zamiast częstotliwości[3][4] :

...

W tym przypadku ma wymiar W m -2 m -1 sr -1 i odpowiada jasności energii w małym zakresie długości fal podzielony przez [3][4] .

Emisyjność

Emisyjność przy częstotliwości lub długość fali Czy moc promieniowania na jednostkę powierzchni w zakresie częstotliwości? lub długości fal , podzielone odpowiednio przez lub ... Można to wyrazić wzorami[5] :

,
...

Zatem emisyjność ciała jest liczbowo razy większa jasność, jeśli kąt bryłowy jest mierzony w steradianach . Ilości oraz mają wymiary odpowiednio W·m- 2 ·Hz- 1 i W·m- 2 ·m- 1[5] .

Widmowa gęstość energii

Inna forma zapisu opisuje widmową wolumetryczną gęstość energii promieniowania całkowicie czarnego ciała. Analogicznie do poprzednich wzorów jest równa gęstości energii w małym zakresie częstotliwości lub długości fali podzielonej przez szerokość tego zakresu [1] [2] :

,
...

W układzie SI wielkości oraz mają wymiary równe odpowiednio J·m- 3 ·Hz- 1 i J·m- 3 ·m - 1 [1] [2] . Ponadto widmowa gęstość energii jest powiązana z emisyjnością przez współczynnik [6] .

Zastosowanie

Widmo Słońca (żółty) i widmo ciała doskonale czarnego o temperaturze 5777 K (szary)

Wzór Plancka ma zastosowanie do promieniowania, które jest w równowadze termicznej z materią w określonej temperaturze [2] . Ma zastosowanie do absolutnie czarnych ciał o dowolnym kształcie, niezależnie od składu i struktury, pod warunkiem, że wymiary ciała emitującego i szczegóły jego powierzchni są znacznie większe niż długości fal, przy których ciało głównie promieniuje[3] [7] .

Jeżeli ciało nie jest całkowicie czarne, to widma jego równowagi promieniowania cieplnego nie opisuje prawo Plancka, lecz jest z nim związane prawem promieniowania Kirchhoffa . Zgodnie z tym prawem stosunek emisyjności do chłonności ciała jest taki sam dla wszystkich długości fal i zależy tylko od temperatury [8] . Czyli np. w jednej temperaturze rozkład energii w widmie ciała absolutnie szarego będzie taki sam jak w widmie całkowicie czarnego, ale całkowita jasność energetyczna promieniowania będzie mniejsza [9] .

Formuła Plancka służy również do opisu ciał rzeczywistych, których widmo promieniowania różni się od widma Plancka. W tym celu wprowadzono pojęcie efektywnej temperatury ciała: jest to temperatura, w której absolutnie czarne ciało emituje taką samą ilość energii na jednostkę powierzchni, jak dane ciało. Podobnie określana jest temperatura jasności , która jest równa temperaturze ciała doskonale czarnego, które emituje taką samą ilość energii na jednostkę powierzchni przy określonej długości fali, a temperatura barwowa jest równa temperaturze ciała doskonale czarnego o tej samej energii rozkład w określonej części widma [2] [10] [11] . Przykładowo dla Słońca temperatura efektywna wynosi około 5780 K , a temperatura jasności w zależności od długości fali przyjmuje różne wartości: przy długości fali 1500 Å osiąga minimalną wartość 4200 K, a w zakresie widzialnym przy długości fali 5500 Å jest to około 6400 K, podczas gdy dla ciała doskonale czarnego wyznaczone w ten sposób temperatury pokrywają się [12] .

Historia odkryć

Tło

Definicja prawa promieniowania cieplnego jest interesująca od 1859 roku, kiedy Gustav Kirchhoff odkrył prawo promieniowania Kirchhoffa , zgodnie z którym stosunek emisyjności do pojemności absorpcyjnej jest uniwersalny dla wszystkich ciał. W konsekwencji funkcja promieniowania ciała absolutnie czarnego , którego zdolność pochłaniania jest równa jedności dla wszystkich długości fal, musi pokrywać się z funkcją tego stosunku [13] [14] .

Pod koniec XIX wieku widmo promieniowania ciała doskonale czarnego było już znane eksperymentalnie. W 1896 roku Wilhelm Wien opisał ją empirycznie za pomocą prawa promieniowania Wiena , ale w tamtym czasie fizycy nie byli w stanie uzyskać ani jego podstaw teoretycznych, ani żadnych wniosków. Chociaż Vin podał w swojej pracy uzasadnienie dla prawa, nie było ono wystarczająco rygorystyczne, aby uznać ten problem za rozwiązany [6] [15] [16] .

Max Planck był jednym z tych, którzy próbowali teoretycznie uzasadnić prawo promieniowania Wiena. Wyszedł z tego, że emiterami są liniowe oscylatory harmoniczne , które ustaliły równowagę między emisją a pochłanianiem; po ustaleniu zależności między entropią a energią oscylatorów był w stanie potwierdzić prawo promieniowania Wiena [17] .

Jednak dalsze eksperymenty wykazały, że prawo promieniowania Wiena niedokładnie opisuje widmo promieniowania cieplnego w obszarze długich fal. W październiku 1900 r. Planck przedstawił formułę, która, aż do stałych, pokrywała się ze współczesnym prawem Plancka. Tego samego dnia stwierdzono, że wzór dobrze opisuje dane eksperymentalne, ale jednocześnie nie ma podstaw teoretycznych. Planck wyprowadził to tylko na tej podstawie, że w przypadku granicznym dla fal krótkich powinno ono przekształcić się w prawo Wiena, ale w przeciwieństwie do niego zgadzać się z danymi eksperymentalnymi dla fal długich [18] .

Otwarcie

Niespełna dwa miesiące po ogłoszeniu otrzymania wzoru Planck przedstawił jego teoretyczne wyprowadzenie na spotkaniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego . Wykorzystano w nim relację na entropię wprowadzoną przez Ludwiga Boltzmanna , która uwzględnia liczbę możliwych stanów mikroskopowych układu. Planck, aby móc wykorzystać metody kombinatoryki i tym samym oszacować entropię, przyjął założenie, że energia całkowita składa się z całkowitej liczby skończonych elementów energetycznych – kwantów [15] [19] .

Pomimo faktu, że w tym wniosku pojawiły się kwanty, a stała Plancka została wprowadzona i użyta po raz pierwszy, ani sam Planck, ani jego koledzy nie rozumieli pełnej głębi odkrycia. Na przykład Planck uważał, że dyskrecja energii nie ma fizycznego znaczenia i jest tylko matematyczną sztuczką. Inni fizycy również nie przywiązywali do tego żadnej wagi i nie wierzyli, że to założenie jest sprzeczne z fizyką klasyczną . Dopiero po publikacji Hendrika Lorentza w 1908 roku społeczność naukowa doszła do wniosku, że kwanty mają znaczenie fizyczne. Sam Planck nazwał później wprowadzenie kwantów „aktem rozpaczy”, spowodowanym faktem, że „wyjaśnienie teoretyczne trzeba znaleźć za wszelką cenę, bez względu na to, jak wysokie może być”. Mimo to dzień, w którym wzór Plancka został uzasadniony – 14 grudnia 1900 – uważany jest za urodziny fizyki kwantowej [15] [20] .

Korzystając z rozważań fizyki klasycznej , Lord Rayleigh w 1900 iw 1905 James Jeans wyprowadzili prawo Rayleigha-Jeansa . Z tym samym rezultatem, niezależnie od nich, doszedł w swoich pracach sam Planck. Wyprowadzenie tego prawa niewiele różniło się od wyprowadzenia prawa Plancka (patrz poniżej). [⇨] ), z tą różnicą, że średnia energia promieniowania został uznany za równy , zgodnie z twierdzeniem o równym rozkładzie energii w stopniach swobody . Z punktu widzenia fizyki klasycznej przebieg wyprowadzenia nie budził wątpliwości, ale prawo Rayleigha-Jeansa nie tylko poważnie nie zgadzało się z danymi eksperymentalnymi wszędzie, z wyjątkiem obszaru długich fal, ale także przewidywało nieskończenie wysokie promieniowanie moc na falach krótkich. Ten paradoks wskazywał, że w fizyce klasycznej nadal istnieją fundamentalne sprzeczności i stał się dodatkowym argumentem na rzecz hipotezy kwantowej. Paul Ehrenfest w 1911 roku po raz pierwszy nazwał to katastrofą ultrafioletową [6] [15] [21] .

W 1918 roku Max Planck otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki i choć został oficjalnie nagrodzony za odkrycie kwantów, odkrycie to było ściśle związane z wyprowadzeniem prawa Plancka [22] .

Wyprowadzenie wzoru Plancka

Wnioskowanie przez rozkład Boltzmanna

Wzór Plancka wyprowadza się następująco [6] .

Pochodzenie uwzględnia małe czarne ciało o temperaturze znajduje się wewnątrz sześcianu z krawędzią długości , którego wewnętrzne ściany doskonale odbijają promieniowanie. Dzięki temu emisja i pochłanianie światła będą zrównoważone, a promieniowanie będzie równomiernie rozłożone w całej wewnętrznej przestrzeni sześcianu. Wewnątrz sześcianu zostanie zachowana pewna gęstość energii ... Wtedy widmowa gęstość energii będzie nazywana ilością równa gęstości energii na jednostkę interwału częstotliwości kątowych w pobliżu ...

Przy wyborze małego obszaru na powierzchni ciała doskonale czarnego można obliczyć, ile energii na nie spada. Gęstość energii spadającej pod kątem do normalnej od kąta bryłowego , jest równe , ponieważ promieniowanie jest równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach pod kątem bryłowym steradian. Światło porusza się z prędkością , co oznacza czas energia spada na powierzchnię :

...

Suma energii pochodzącej ze wszystkich kierunków będzie przepływem :

...

Ta sama ilość energii będzie wyemitowana przez tę samą jednostkę powierzchni ciała absolutnie czarnego, co oznacza, że ​​zarówno dla całego przepływu, jak i dla dowolnego zakresu częstotliwości lub długości fal, zależność ...

Ponieważ zarówno promieniowane, jak i odbite fale są jednocześnie obecne w sześcianie, pole promieniowania cieplnego musi reprezentować ich superpozycję, to znaczy mieć postać stojących fal elektromagnetycznych . Aby określić ich parametry, wzdłuż krawędzi sześcianu i odpowiednich wektorów jednostkowych wprowadza się kartezjański układ współrzędnych ... Dla fali, która rozchodzi się ściśle wzdłuż osi , powinno być wykonane , gdzie - liczba naturalna : czyli półcałkowita liczba fal musi mieć całkowitą długość dokładnie ... Wektor falowy takiej fali to , gdzie Czy liczba falowa , której ograniczenie przybiera formę ...

Dla fal rozchodzących się wzdłuż osi oraz rozumowanie jest podobne; falę rozchodzącą się w dowolnym innym kierunku można przedstawić jako superpozycję fal rozchodzących się wzdłuż osi: ... Stąd, , gdzie - liczby naturalne niezależne od siebie lub zera. Następnie liczba fal dowolnej fali jest reprezentowana jako , a częstotliwość wynosi ... Każdemu trzem z tych parametrów odpowiada jedna fala stojąca.

Korzystanie z bezwymiarowej ilości możliwe jest określenie liczby fal stojących o częstotliwości nie większej niż ... Ten numer równa liczbie kombinacji dla którego ... Wtedy można oszacować jako ósma objętości kuli o promieniu :

gdzie - przestrzeń, w której promieniowanie jest zamknięte. Так как электромагнитные волны — поперечные, в каждом направлении могут распространяться по две волны, поляризованных взаимно перпендикулярно, и реальное число волн увеличивается ещё в два раза:

.

Если продифференцировать это выражение по частоте, получится число стоячих волн с длинами волн в интервале :

.

Можно взять за среднюю энергию стоячей электромагнитной волны с частотой . Если умножить количество стоячих волн на и разделить полученное значение на и на , получится спектральная плотность энергии излучения:

.

Для дальнейшего вывода закона Планка необходимо учитывать эффекты квантовой физики , а именно — то, что энергия излучается конечными по величине порциями, по величине равными ( — постоянная Дирака); соответственно, возможные значения энергии излучения равны , где — любое натуральное число . Таким образом, средняя энергия излучения равна:

где — вероятность того, что излучение будет иметь энергию, равную . Вероятность описывается распределением Больцмана по энергиям (англ.) с некоторой константой :

.

С учётом , для верно:

.

Таким образом, выражается как:

.

Здесь . Знаменатель раскладывается по формуле суммы геометрической прогрессии , а числитель представляется как производная знаменателя по :

,
.

Получается выражение для средней энергии:

.

Если подставить в формулу для спектральной плотности энергии излучения, получится один из окончательных вариантов формулы Планка:

.

Соотношение позволяет получить формулу для излучательной способности [6] :

.

Если разделить на , получится выражение для спектральной плотности яркости [23] :

.

Эти величины можно выразить через другие параметры — например, циклическую частоту или длину волны . Для этого нужно учесть, что по определению выполняются соотношения , (минус появляется из-за того, что про росте длины волны уменьшается частота) и аналогичные формулы для излучательной способности и плотности энергии. Так, для перехода к циклическим частотам нужно заменить (при этом , так что ) и домножить на , тогда формулы примут вид[3] [23] :

,
,
.

Аналогичным образом получаются формулы для длин волн. После замены и домножения на [3] [23] :

,
,
.

Вывод через статистику Бозе — Эйнштейна

Если рассматривать равновесное излучение как фотонный газ, к нему можно применить статистику Бозе — Эйнштейна . Она определяет среднее число частиц в -м квантовом состоянии с энергией [24] :

.

В этой формуле химический потенциал газа. Для фотонного газа он равен нулю, поэтому формула для него представима в следующем виде [24] :

.

Если умножить среднее число фотонов на их энергию , получится та же средняя энергия , что и выведенная из распределения Больцмана. При подстановке её в формулу для спектральной плотности энергии получится закон Планка [24] .

Вывод через спонтанное и вынужденное излучения

Формула Планка также может быть выведена из рассмотрения механизмов спонтанного и вынужденного излучений атомов [25] .

В этом выводе, предложенном Эйнштейном в 1916 году, рассматриваются и атомов на уровнях с энергией и соответственно. Тогда количество переходов с высшего уровня на низший в единицу времени пропорционально и может быть записано как . При вынужденном излучении количество переходов в единицу времени пропорционально и спектральной плотности излучения на частоте перехода , то есть может быть записано как . Количество же переходов в единицу времени из-за поглощения пропорционально и и записывается как [25] .

Величины — характеристики только самого атома и выбранных энергетических уровней, называемые коэффициентами Эйнштейна . Если поле излучения равновесное и имеет температуру , то условие детального равновесия выглядит следующим образом [25] :

.

В пределе можно пренебречь спонтанным изучением по сравнению с вынужденным, и тогда условие равновесия примет вид . Так как при будет выполняться , а коэффициенты Эйнштейна не зависят от температуры, будет верно равенство , что справедливо для простых уровней; для кратных уровней нужно дополнительно учитывать коэффициенты кратности. В дальнейшем можно рассматривать только простые уровни, так как плотность энергии излучения не зависит от деталей строения вещества [25] .

Можно воспользоваться распределением Больцмана [25] :

.

При применении его к условию равновесия получается [25] :

где . Эта величина не зависит от температуры и может быть найдена из условия, что для высоких температур должна быть справедлива формула Рэлея — Джинса [25] :

,
.

Энергетические уровни могут быть взяты произвольным образом, поэтому индексы и можно убрать и использовать формулу для произвольных частот. При подстановке в исходную формулу для получается формула Планка. Таким образом, важным следствием справедливости формулы Планка является существование вынужденных переходов, которые необходимы для реализации лазерной генерации [25] .

Связь с другими формулами

Закон Рэлея — Джинса

Синим и чёрным цветами обозначены спектры, соответствующие закону Планка и закону Рэлея — Джинса при одной температуре. Видно, что во втором случае наблюдается неограниченный рост мощности при уменьшении длины волны

Закон Рэлея — Джинса — приближение закона Планка, хорошо работающее при (то есть в диапазоне больших длин волн и малых частот), но сильно расходящееся с ним при , сравнимых или больших . В законе Рэлея — Джинса используется приближение , справедливое при малых , поэтому приближение выглядит следующим образом [26] [27] :

.

В рамках классической физики в результате вывода закона излучения получается именно закон Рэлея — Джинса. Однако при малых длинах волн закон Рэлея — Джинса не только расходится с экспериментом, но и предсказывает неограниченный рост мощности излучения при приближении длины волны к нулю. Этот парадокс получил название ультрафиолетовой катастрофы (см. выше [⇨] ) [6] [27] .

Закон излучения Вина

Спектры излучения по закону Планка (зелёный), в приближении Рэлея — Джинса (красный) и в приближении Вина (синий). Оси имеют логарифмический масштаб ; температура тела — 0,008 К

Закон излучения Вина — приближение закона Планка, хорошо работающее при — в области малых длин волн и больших частот. Закон излучения Вина предполагает, что при единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь и считать . Тогда формула принимает вид [26] [27] :

.

Закон Стефана — Больцмана

Плотность потока энергии соответствует площади под графиком функции. По закону Стефана — Больцмана она пропорциональна четвёртой степени температуры

Закон Стефана — Больцмана — выражение, описывающее излучение абсолютно чёрного тела во всём электромагнитном диапазоне. Оно выводится из закона Планка интегрированием по частоте или, в зависимости от формы записи, по длине волны [28] :

,
.

Заменим , тогда [28] :

.

Этот определённый интеграл равен . Можно выразить , где — константа [28] :

.

Плотность потока энергии при этом в раз больше энергетической яркости , поэтому для вычисления первой используется коэффициент , называемый постоянной Стефана — Больцмана , равный 5,67⋅10 −8 Вт·м −2 · K −4 . Мощность излучения с единичной площади в таком случае может быть выражена как . Это выражение и называется законом Стефана — Больцмана [28] .

Закон смещения Вина

По закону смещения Вина длина волны, на которой достигается максимальная излучательная способность, обратно пропорциональна температуре

Закон смещения Вина связывает длину волны, на которой излучательная способность абсолютно чёрного тела максимальна, с его температурой. Он выводится из закона Планка дифференцированием его по частоте или длине волны, в зависимости от формы записи, и приравниванием производной к нулю, который достигается в максимуме функции. При этом получается соотношение , где — константа, равная 0,0029 м· K . Таким образом, при увеличении температуры длина волны максимума уменьшается [29] .

Хотя для частот можно проделать аналогичную процедуру, частоту максимума спектральной плотности нельзя рассчитать по формуле , так как связь между частотой и длиной волны нелинейна, а излучательная способность рассчитывается по излучению на единичном интервале частот или длин волн [29] .

Применение

Для абсолютно чёрного тела спектр описываемый законом Планка однозначно связан с его температурой. Поэтому закон находит применение в пирометрии , то есть дистанционном определении температуры горячих тел. В случае отличия спектра тела от излучения аболютно чёрного тела пирометр измеряет эффективную температуру, которая называется радиационной . Зная отношение испускательной способности исследуемого тела к испускательной способности абсолютно чёрного тела , которая показывает отличие от формулы Планка, можно найти реальную температуру . Для многих практических важных материалов значения известны [30] .

Примечания

  1. 1 2 3 Planck's radiation law (англ.) . Encyclopedia Britannica . Дата обращения: 18 декабря 2020.
  2. 1 2 3 4 5 Масалов А. В. Планка закон излучения // Большая российская энциклопедия . — Издательство БРЭ , 2014. — Т. 26. — 767 с. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
  3. 1 2 3 4 5 6 Karttunen et al., 2007 , p. 103.
  4. 1 2 Кононович, Мороз, 2004 , с. 170.
  5. 1 2 Кононович, Мороз, 2004 , с. 181.
  6. 1 2 3 4 5 6 1.2. Квантовая теория излучения . Кафедра физики МГТУ им. Баумана . Дата обращения: 18 декабря 2020.
  7. Juan Carlos Cuevas. Thermal radiation from subwavelength objects and the violation of Planck's law (англ.) // Nature Communications . — Nature Research , 2019. — 26 July (vol. 10). — P. 3342. — ISSN 2041-1723 . — doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 .
  8. 1.1. Законы теплового излучения . Кафедра физики МГТУ им. Баумана . Дата обращения: 24 января 2021.
  9. Серое тело . Энциклопедия физики и техники . Дата обращения: 24 января 2021.
  10. Karttunen et al., 2007 , p. 104.
  11. Кононович, Мороз, 2004 , с. 193—194.
  12. Кононович, Мороз, 2004 , с. 239—240.
  13. Джеммер, 1985 , с. 14—16.
  14. Сивухин, 2002 , с. 681—682.
  15. 1 2 3 4 Max Planck: the reluctant revolutionary (англ.) . Physics World (1 December 2000). Дата обращения: 19 декабря 2020.
  16. Джеммер, 1985 , с. 21.
  17. Джеммер, 1985 , с. 22—27.
  18. Джеммер, 1985 , с. 27—30.
  19. Джеммер, 1985 , с. 30—33.
  20. Джеммер, 1985 , с. 30—34.
  21. Сивухин, 2002 , с. 697.
  22. The Nobel Prize in Physics 1918 (англ.) . NobelPrize.org . Nobel Foundation . Дата обращения: 19 декабря 2020.
  23. 1 2 3 Different Formulations of Planck's Law . www.physics-in-a-nutshell.com . Дата обращения: 19 декабря 2020.
  24. 1 2 3 Сивухин, 2002 , с. 703—704.
  25. 1 2 3 4 5 6 7 8 Сивухин, 2002 , с. 704—706.
  26. 1 2 Кононович, Мороз, 2004 , с. 182.
  27. 1 2 3 Karttunen et al., 2007 , p. 105.
  28. 1 2 3 4 Karttunen et al., 2007 , pp. 103—104.
  29. 1 2 Karttunen et al., 2007 , pp. 104—105.
  30. Ландсберг, 2003 , с. 639.

Литература