e (liczba)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby niewymierne
ζ (3) - ρ - 2 - 3 - 5 - ln 2 - φ, Φ - ψ - α, δ - e - i π
Notacja Szacowanie liczby
Dwójkowy 10.101101111110000101010001011001...
Dziesiętny 2.7182818284590452353602874713527...
Szesnastkowy 2, B7E151628AED2A6A...
Szesnastkowy 2; 43 05 48 52 29 48 35 ...
Racjonalne przybliżenia 8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544

(wymienione w kolejności rosnącej dokładności)

Ułamek ciągły [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...]

(Ten ułamek ciągły nie jest okresowy . Jest zapisany w notacji liniowej)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 76839642 43 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354


Pierwsze 1000 miejsc po przecinku e [1]

(sekwencja A001113 w OEIS )
Obszar obszaru pod wykresem na segmencie równa się 1
Jest liczbą, dla której pochodna (styczna kąta nachylenia stycznej) funkcji wykładniczej f ( x ) = e x (krzywa niebieska) w punkcie x = 0 jest równa 1 (styczna - czerwona linia). Dla porównania pokazano funkcję f ( x ) = 2 x (linia przerywana) i f ( x ) = 4 x (linia przerywana); których pochodne nie są równe 1 przy x = 0.

- podstawa logarytmu naturalnego , stała matematyczna , liczba niewymierna i przestępna . Około 2.71828. Czasami liczba dzwonił pod numer Eulera lub numer Napiera . Jest oznaczony małą łacińską literą „ e ”.

Maksymalna funkcja osiąga się w ...

Numer odgrywa ważną rolę w różnicy i całkowego , a także w wielu innych gałęzi matematyki .

Ponieważ funkcja wykładnika integruje i różnicuje „w siebie”, logarytmy właśnie po podstawie akceptowane jako naturalne .

Metody oznaczania

Numer można zdefiniować na kilka sposobów.

  • Powyżej limitu:
    (druga godna uwagi granica ).
    (wynika to z formuły Moivre-Stirlinga ).
  • Jako suma szeregu :
    lub ...
  • Jak w liczbie pojedynczej dla którego
  • Jako pojedyncza liczba dodatnia dla których to prawda

Nieruchomości

  • Pochodna wykładnika jest równa samemu wykładnikowi:
    Ta właściwość odgrywa ważną rolę w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Na przykład ogólne rozwiązanie równania różniczkowego są funkcje , gdzie Jest arbitralną stałą.
  • Numer irracjonalny . Dowód irracjonalności jest elementarny.
  • Numer transcendentalny . Po raz pierwszy udowodnił to w 1873 roku Charles Hermite . [2] Transcendencja liczby wynika z twierdzenia Lindemanna .
  • Zakłada się, że - liczba normalna , czyli częstotliwość występowania różnych cyfr w jej zapisie jest taka sama. Obecnie (2017) ta hipoteza nie została udowodniona.
  • Numer jest liczbą obliczalną (a więc arytmetyczną ).
  • , patrz wzór Eulera , w szczególności
  • Formuła łącząca liczby oraz , t. rz. Całka Poissona lub całka Gaussa
  • Dla dowolnej liczby zespolonej z prawdziwe są następujące równości:
  • Numer rozwija się do nieskończonego ułamka łańcuchowego w następujący sposób (prosty dowód tego rozwinięcia, związany z przybliżeniami Padé, jest podany w [3] ):
    , to jest
  • Lub odpowiednik:
  • Aby szybko obliczyć dużą liczbę cyfr, wygodniej jest użyć innego rozszerzenia:
  • Przedstawiamy kataloński :
  • Reprezentacja poprzez grafikę :
  • Przez numery Bella

  • Miara irracjonalności liczby jest równe (która jest najmniejszą możliwą wartością dla liczb niewymiernych). [4]

Historia

Liczba ta bywa określana wcześniejszym neperovym po szkockim naukowcu Napierze , autorze „Opisu niesamowitej tablicy logarytmów” ( 1614 ). Jednak ta nazwa nie jest do końca poprawna, ponieważ ma logarytm liczby był równy ...

Po raz pierwszy stała ta pojawia się milcząco w aneksie do angielskiego przekładu wspomnianego dzieła Napiera, wydanego w 1618 roku . Za kulisami, ponieważ zawiera tylko tablicę logarytmów naturalnych wyznaczonych na podstawie rozważań kinematycznych, sama stała nie jest obecna.

Przypuszcza się, że autorem tabeli był angielski matematyk Otred .

Ta sama stała została po raz pierwszy obliczona przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego podczas rozwiązywania problemu wartości krańcowej dochodu odsetkowego . Odkrył, że jeśli pierwotna kwota i jest naładowany raz w roku na koniec roku, wtedy łączna kwota będzie ... Ale jeśli te same odsetki są naliczane dwa razy w roku, to pomnożone przez dwa razy dostajesz ... Naliczanie odsetek raz na kwartał skutkuje itp. Bernoulli wykazał, że jeśli częstotliwość naliczania odsetek jest nieskończenie zwiększona, to dochód odsetkowy w przypadku odsetek składanych ma granicę : , a ta granica jest równa liczbie ...

Więc stała oznacza maksymalny możliwy zysk roczny przy roczna i maksymalna częstotliwość kapitalizacji odsetek [5] .

Pierwsze znane użycie tej stałej, gdzie oznaczono ją literą , Znaleziony w pismach Leibniza, Huygens , 1690 - 1691 lat .

List zaczął używać Eulera w 1727 r., po raz pierwszy został znaleziony w liście Eulera do niemieckiego matematyka Goldbacha z 25 listopada 1731 r. [6] [7] , a pierwszą publikacją z tym listem była jego praca „Mechanika, czyli nauka o ruchu, Objaśnione analitycznie”, 1736 rok . Odpowiednio, zwykle nazywany numerem Eulera . Chociaż później niektórzy uczeni używali tego listu , list używane częściej i jest obecnie oznaczeniem standardowym.

W językach programowania symbol w zapisie wykładniczym liczby odpowiadają liczbie 10, a nie liczbie Eulera. Wynika to z historii powstania i wykorzystania języka FORTRAN do obliczeń matematycznych [8] .

Przybliżenia

  • Liczbę można zapamiętać jako 2, 7 i powtarzając 18, 28, 18, 28. Reguła mnemoniczna: dwa i siedem, potem dwa razy rok urodzenia Lwa Tołstoja (1828), potem kąty trójkąta równoramiennego (45, 90 i 45 stopni). Poetycka fraza mnemoniczna ilustrująca część tej zasady: „Istnieje prosty sposób na zapamiętanie wykładnika: dwie i siedem dziesiątych, dwa razy Lew Tołstoj”
  • Wiersz mnemoniczny, który pozwala zapamiętać pierwsze 12 miejsc po przecinku (długości słów kodują cyfry liczby e): Trzepotaliśmy i świeciliśmy, / Ale utknęliśmy w przejściu: / Nie rozpoznaliśmy naszego skradzionego / Auto rajd . [ znaczenie faktu? ]
  • , z dokładnością 0,00001;

Zgodnie z teorią ułamków łańcuchowych najlepsze racjonalne przybliżenia liczby w rozwinięciu liczby są odpowiednie ułamki na ułamek ciągły.

Numer 19/7 bije numer mniej niż 0,004;
Liczba 87/32 bije liczbę mniej niż 0,0005;
Liczba 193/71 jest wyższa od liczby mniej niż 0,00003;
Liczba 1264/465 przewyższa liczbę mniej niż 0,00003;
Liczba 2721/1001 przekracza liczbę mniej niż 0,0000002;

Otwarte problemy

Zobacz też

Notatki (edytuj)

  1. 2 miliony cyfr po przecinku
  2. Encyklopedia Matematyki . - Moskwa: radziecka encyklopedia, 1985 .-- T. 5. - P. 426.
  3. William Adkins. Krótki dowód prostego ciągłego rozszerzania ułamka e . arXiv . arXiv (25 lutego 2006).
  4. Weisstein, Eric W. Miara irracjonalności (inż.) Na stronie Wolframa MathWorld .
  5. Liczba e . Historia matematyki MacTutor.
  6. Litera XV. Euler à Goldbach, datowany 25 listopada 1731 w: PH Fuss, red., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle , t. 1, (Petersburg, Rosja: 1843), s. 56-60; patrz strona 58.
  7. Remmert, Reinhold (ang.) ... Teoria funkcji złożonych (nieokreślonych) . - Springer-Verlag , 1991 .-- str. 136 . - ISBN 0-387-97195-5 .
  8. Eckel B. Filozofia Java = Myślenie w Javie. - 4. ed. - SPb. : Piotr, 2009. - str. 84. - (Biblioteka programisty). - ISBN 978-5-388-00003-3 .
  9. Weisstein, Eric W. liczba niewymierna (inż.) Na stronie Wolfram MathWorld .
  10. Weisstein, Eric W. Pi (ang.) Na stronie Wolfram MathWorld .
  11. Sondow, Jonathan i Weisstein, Eric W. e (ang.) Na stronie Wolfram MathWorld .
  12. Niektóre nierozwiązane problemy w teorii liczb
  13. Weisstein, Eric W. liczba transcendentalna (inż.) W serwisie Wolfram MathWorld .
  14. Wprowadzenie do metod irracjonalności i transcendencji

Spinki do mankietów