Półoś wielka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Półoś wielka jest jednym z głównych parametrów geometrycznych obiektów tworzonych za pomocą przekroju stożkowego.

Elipsa

Główne parametry elipsy. Półoś wielka jest oznaczona jako ...

Oś główna elipsy nazywana jest jej największą średnicą - segmentem przechodzącym przez środek i dwoma ogniskami. Wielka półoś znajduje się w połowie tej odległości i biegnie od środka elipsy przez ognisko do jej krawędzi.

Pod kątem 90 ° do wielkiej półosi znajduje się półoś mała - minimalna odległość od środka elipsy do jej krawędzi. W szczególnym przypadku elipsy - okręgu - półosi większa i mniejsza są równe i są promieniami. Można więc traktować półosi większą i mniejszą jako rodzaj promienia elipsy.

Długość półosi wielkiej związane z długością małej półosi przez ekscentryczność , parametr ogniskowy i ogniskowej (połowa odległości między ogniskami) w następujący sposób:

Wielka półoś to średnia arytmetyczna odległości od dowolnego punktu elipsy do jej ognisk.

Rozważając równanie we współrzędnych biegunowych , z punktem na początku (biegunem) i promieniem wychodzącym z tego punktu (oś biegunowa):

Uzyskajmy wartości średnie oraz i półoś wielka

Parabola

Wykres budowy paraboli najprostszej funkcji y = x 2

Parabolę można uzyskać jako granicę ciągu elips, gdzie jedno skupienie pozostaje stałe, podczas gdy drugie przesuwa się w nieskończoność, zachowując stały. Zatem oraz dążyć do nieskończoności i szybszy niż ...

Hiperbola

Półoś wielka hiperboli to połowa minimalnej odległości między dwoma gałęziami hiperboli, po dodatniej i ujemnej stronie osi (lewy i prawy w stosunku do początku). Dla gałęzi znajdującej się po stronie dodatniej półoś będzie równa:

Jeśli wyrazimy to poprzez przekrój stożkowy i mimośród, wówczas wyrażenie przyjmie postać:

...

Linia prosta zawierająca główną oś hiperboli nazywana jest osią poprzeczną hiperboli . [1]

Astronomia

Okres orbitalny

W mechanice niebieskiej okres orbitalny obrót małych ciał po orbicie eliptycznej lub kołowej wokół większego ciała centralnego oblicza się według wzoru:

gdzie:

Jest rozmiarem wielkiej półosi orbity
Jest standardowym parametrem grawitacyjnym (iloczynem stałej grawitacyjnej i masy obiektu) )

Należy zauważyć, że w tym wzorze dla wszystkich elips okres obrotu jest określony przez wartość wielkiej półosi, niezależnie od mimośrodu.

W astronomii wielka półoś, wraz z okresem orbitalnym , jest jednym z najważniejszych elementów orbitalnych orbity ciała kosmicznego.

W przypadku obiektów Układu Słonecznego półoś wielka jest powiązana z okresem orbitalnym zgodnie z trzecim prawem Keplera .

gdzie:

- okres orbitalny w latach;
- półoś wielka w jednostkach astronomicznych .

Wyrażenie to jest szczególnym przypadkiem ogólnego rozwiązania problemu dwóch ciał Izaaka Newtona :

gdzie:

- stała grawitacyjna
- masa korpusu centralnego
Jest to masa krążącego wokół niego satelity. Z reguły masa satelity jest tak mała w porównaniu z masą ciała centralnego, że można ją pominąć. Dlatego po dokonaniu odpowiednich uproszczeń w tej formule otrzymujemy tę formułę w uproszczonej formie, która jest podana powyżej.

Orbita satelity wokół środka masy (barycenter) wspólnego dla ciała centralnego jest elipsą. Półoś wielka jest zawsze używana w astronomii w odniesieniu do średniej odległości planety od gwiazdy, w efekcie orbity planet Układu Słonecznego sprowadzane są do układu heliocentrycznego , a nie do układu ruchu wokół środka masy. Różnicę tę najdogodniej ilustruje przykład układu Ziemia-Księżyc. Stosunek masy w tym przypadku wynosi 81.30059. Półoś wielka geocentrycznej orbity Księżyca wynosi 384 400 km , natomiast odległość do Księżyca względem środka masy układu Ziemia-Księżyc wynosi 379 730 km – ze względu na wpływ masy Księżyca, środek masa nie znajduje się w centrum Ziemi, ale w odległości 4670 km od niej ... W rezultacie średnia prędkość orbitalna Księżyca względem środka masy wynosi 1,010 km/s, a średnia prędkość Ziemi 0,012 km/s. Suma tych prędkości daje prędkość orbitalną Księżyca 1,022 km/s; tę samą wartość można uzyskać, rozważając ruch księżyca względem środka Ziemi, a nie środka masy.

Średni dystans

Często mówi się, że wielka półoś to średnia odległość między ciałem centralnym a orbitalnym. Nie jest to do końca prawdą, ponieważ średnią odległość można rozumieć jako różne wartości – w zależności od wartości, powyżej której dokonywane jest uśrednianie:

  • uśrednianie ponad ekscentryczną anomalią . W tym przypadku średnia odległość będzie dokładnie równa wielkiej półosi orbity.
  • uśredniając w stosunku do prawdziwej anomalii , średnia odległość będzie dokładnie równa półmniejszej osi orbity.
  • uśrednienie po średniej anomalii da średnią odległość uśrednioną w czasie:
  • uśrednianie po promieniu, które otrzymuje się z następującego stosunku:

Energia; obliczenie wielkiej półosi metodą wektora stanu

W mechanice nieba półoś wielka można obliczyć metodą orbitalnych wektorów stanu :

dla orbit eliptycznych

dla trajektorii hiperbolicznej

oraz

( energia właściwa orbity [pl] )

oraz

( standardowy parametr grawitacyjny ), gdzie:

- prędkość orbitalna satelity na podstawie wektora prędkości ,
- wektor pozycji satelity we współrzędnych układu odniesienia, względem którego mają być obliczane elementy orbitalne (np. geocentryczny w płaszczyźnie równikowej – na orbicie wokół Ziemi, lub heliocentryczny w płaszczyźnie ekliptyki – na orbicie wokół Słońca),
- stała grawitacyjna ,
oraz - masy ciała.

Wielka półoś jest obliczana na podstawie całkowitej masy i energii właściwej, niezależnie od wartości mimośrodu orbity.

Większe i mniejsze półosie orbit planet

Orbity planet są zawsze przytaczane jako najlepsze przykłady elips ( pierwsze prawo Keplera ). Jednak minimalna różnica między większą i mniejszą półosią pokazuje, że mają one praktycznie okrągły wygląd. Ta różnica (lub stosunek) opiera się na ekscentryczności i jest obliczana jako , co daje bardzo małe wartości dla typowych mimośrodów planet. Przyczyną założenia o znacznej eliptyczności orbit jest prawdopodobnie znacznie większa różnica między aphelium a peryhelium. Ta różnica (lub stosunek) jest również oparta na mimośrodowości i jest obliczana jako ... Ze względu na dużą różnicę między aphelium a peryhelium, drugie prawo Keplera można łatwo przedstawić graficznie.

Ekscentryczność Półoś wielka a ( a.u ) Półoś mała b ( a.u. ) Różnica (%) Peryhelium ( a. E ) Aphelios ( a. E. ) Różnica (%)
Rtęć 0,206 0,38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52
Wenus 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1,4
Ziemia 0,017 1,00000 0,99986 0,014 0,983 1.017 3,5
Mars 0,093 1,52400 1,51740 0,44 1,382 1,666 21
Jowisz 0,049 5.20440 5.19820 0,12 4.950 5.459 dziesięć
Saturn 0,057 9.58260 9.56730 0,16 9,041 10.124 12
Uran 0,046 19.21840 19.19770 0,11 18.330 20.110 9,7
Neptun 0,010 30,11000 30.10870 0,004 29,820 30.400 1,9

Zobacz też

Notatki (edytuj)

Spinki do mankietów